Chapter14. Influence Maximization in Networks
투빅스 13기 이예지
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오늘은 네트워크에서 가장 많은 사람들을 activate할 수 있는 k명의 Influencer를 찾는 알고리즘에 대해 다룬다.
우리는 익명의 리뷰어보다는 친한 친구 혹은 가족들을 더 신뢰한다. 만약 어떤 제품을 새롭게 추천받았다면 익명의 리뷰어가 쓴 글을 참고하기 보다는 주변 사람들이 추천해주는 제품을 사게 될 것이다.
Viral Marketing이란, 다음과 같은 순서로 발생한다.
영향력있는 고객을 선정한다.
그 고객들에게 무료 샘플이나 할인 혜택을 제공한다.
사용한 제품을 주변 지인들에게 추천한다.
영향력있는 고객들이 제품에 대해 주변 지인들에게 추천만 잘 해준다면, 순식간에 입소문을 타서 지인의 지인, 지인의 지인의 지인, ... 등 빠르고 쉽게 제품이 팔릴 것이다.
그럼, 이러한 영향력있는 고객(Influencer)을 찾는 것이 쉬울까? 단순하게 생각했을 때, follower가 가장 많은 사람을 선택하면 되는 것 아닐까?
follower가 많은 사람은 네트워크에서 degree가 높은 node라고 할 수 있다. 그러나, 단순히 degree가 높은 사람을 영향력있는 고객이라고 말할 수는 없다. 그 이유는 매우 강하게 연결되어 있는 집단의 경우, 즉 connectivity가 강한 집단들은 node의 degree가 매우 높다. 이런 사람들에게 viral marketing을 했을 경우 해당 집단에만 퍼질 뿐 더 많은 사람들에게 뻗어나가지 못 할 것이다.
따라서, 단순하게 degree가 높은 사람을 선택하여 viral marketing을 한다면 더 많은 이익을 얻지 못할 것이다. 결론적으로 말하자면, 실제 매우 큰 네트워크에서 영향력있는 고객들에게 영향을 받는 사람들(influenced people)을 가장 크게 만들 수 있는 k명의 사람을 선택하는 것은 쉬운 일이 아니다.
우리는 이러한 k명의 가장 영향력있는 사람들을 찾는 프로세스를 Influence Maximization이라고 한다.
Influence maximization의 두가지 classical models은 다음과 같다.
Linear Threshold Model
Independent Cascade Model
노드 v가 active라면, 노드 w를 active하게 만들 단 한 번의 기회(one chance)를 얻게 된다.
Activation이 active 노드들을 타고 퍼져나가게 된다.
Problem: Most influential set of size k를 찾자.
pseudo code는 다음과 같다.
f는 단조함수이다. 즉, 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다.
f는 submodular이다. 즉, large set과 특정 노드를 추가하였을 때 얻는 gain이 small set에 특정 노드를 추가하였을 때 얻는 gain보다 크지 않을 수 있다. 이는 overlap 때문에 발생한다.
submodular는 다음과 같은 특징이 있다.
Basic fact 1:
Basic fact 2:
우리는 influence maximization을 set cover problem으로 정의할 수 있다.
f(S)를 확률적으로 접근했기 때문에 우리는 f(S)에 해당하는 parallel possible worlds를 만들 수 있고, 이걸 average함으로써 우리의 알고리즘(무작위 알고리즘)에 신뢰를 줄 수 있다.
동시에 모든 edge에 해당하는 확률에 해당하는 coin을 flip하여 deterministic graph를 만든다. (active하지 않은 edge를 drop시키는 것임.)
위의 과정을 i번 반복한다.
우리의 알고리즘을 돌려 approximated most influential set of size k을 찾는다.
Greedy 알고리즘을 사용했을 때 Principle of deferred decision을 이용하여, 위를 guarantee할 수 있었다. 자세한 내용은 cs224w에서 제공하는 handout을 참고하면 된다.
많은 iter를 할수록 알고리즘의 신뢰도는 높아질 것이다. 그렇다면, greedy 알고리즘의 시간복잡도는 어떻게 될까?
각각의 노드에 uniform random number를 할당한다.
2. 각각의 노드마다 도달할 수 있는 노드들 중 가장 작은 수를 가진 노드의 값으로 업데이트 해준다.
가정) 여기서 이 값이 작을수록 influence일 것이다. 직관적으로 내가 도달할 수 있는 노드가 많다면 더 작은 값을 작을 수 있을 것이고, 도달할 수 있는 노드가 많다는 것은 influence라는 것이다.
그러나, 한 번의 iter는 신뢰할 수 없으므로 결국 위의 과정을 여러 번 반복하여(world를 여러 개 생성하여) 각 노드마다 특정 vector값을 할당하게 된다.
이 후 greedy 알고리즘 사용하여 influence maximization 문제를 풀게 된다.
당연하게도 SK-dim에서 dim이 클수록 running time이 증가하지만, 더 좋은 결과를 보여줌을 알 수 있다. 이 때 SK 알고리즘이 greedy 알고리즘보다 running time이 훨씬 적음에도 불구하고 비슷한 성능을 낸다는 것에 집중해보자.
2020-05-15 투빅스 13기 이예지
node에 random threshold ~ 로 초기화 해준다.
node가 각각의 이웃 w로부터 영향을 받는 값을 라고 할 때, 이 값을 모두 더해주면 이다.
node의 보다 의 값이 더 크다면, 노드는 active하게 된다. 즉, 상품을 사게 되는 것이다.
각각의 edge (v, w)는 probability 를 가지고 있다. 이때, 는 노드 v가 노드 w에게 영향을 줄 확률이다. 즉, 노드 w가 노드 v에게 영향을 받아 상품을 살 확률이다.
초기에 node의 subset 가 active한다.
Subset 에 노드 v가 있다고 가정해보자. 노드 v가 의 확률로 노드 w를 activate한다.
이때 우리가 찾고자 하는 influential set of size k은 를 최대화시켜야한다. 여기서 는 subset 에 의해 상품을 사게 되는 active node의 수이다. 즉, 이다.
사실 most influential set of size k를 찾는 것, 즉 를 만족시키는 optimal solution을 찾는 것은 NP-Complete problem이다.
따라서, 우리는 approximation algorithm을 사용하게 된다. 다행히도 greedy approximation algorithm을 활용하여 찾은 subset 는 를 보장한다.
가 active할 수 있는 node-set라고 할 때,
Input: Algorithm: 각 반복마다 를 크게 만드는 노드 u를 찾는다. 즉, .
각 iter마다 를 최대로 만드는 노드 u를 subset에 추가하므로, greedy한 것을 알 수 있다.
각각의 노드의 를 구한다.
지금까지 다룬 알고리즘은 possible worlds R개를 만들고, 각각의 world에서 influential set of size k를 찾았다. 만약 node set이 주어진다면, 그 set의 influence를 평가하는 것만 해도 이 소요된다.
따라서, 이 시간을 sketches를 활용해서 으로 줄여보자.
Sketch-based Greedy 알고리즘도 마찬가지로 을 보장하지만, 이 때 중요한 것은 "1"이 optimal solution에 해당하는 것이 아니라, greedy 알고리즘을 기준으로 하는 것을 명심하자.